את דרכו כשחקן החל כתלמיד בית ספר תיכון כאשר נמנה עם חברי סדנת התיאטרון של ביכורי העתים בתל אביב. לאחר גמר הלימודים החל להופיע כקומיקאי במסגרת ערב הבמה הפתוחה של הקאמל קומדי קלאב, ברק הופיע לאורך כל שירותו הצבאי כתסריטאי. מיד עם שחרורו מצה"ל הצטרף ברק לצוות "יתוש בראש", שם השתתף כחלק מהפאנל במשך כ-25 תוכניות. הוא המשיך לכתוב לתוכניות קומיות ובין היתר כתב בתוכניות "היכל התרבות", "גריל" של ליאור שליין, "רצועת הביטחון" ו"משחק מכור". השתתף בתוכנית "עסק שחור" בגלגלצ והתארח במספר תוכניות טלוויזיה כולל תוכנית הלילה "אחרי הכל", של טל ברמן. ברק היה בין מפתחי תוכנית "הלילה עם ליאור שליין".
בשנת 2006 הצטרף לתוכניתו של יאיר לפיד כ"פרשן אקטואלי", בה הגיש סטנד אפ על אירועי השבוע.
בשנת 2007 הופיע יונתן בתפקיד אודי, בנו האמצעי של אהר'לה ברג (נתן דטנר) בסדרת הטלוויזיה "משמורת", שכתבה וביימה עירית לינור. בדצמבר של אותה שנה יצא ברק בהופעת יחיד של סטנד-אפ, בהמשך השתתף בעונה הראשונה של תוכנית הבידור "צחוק מעבודה".
בשנים 2008–2009 שיחק ברק בטלנובלה "חשופים", בתפקיד אריאל צור, הכתב לענייני משטרה.
ברק היה תסריטאי ראשי ומפתח הגרסה הישראלית של סדרת האנימציה "סלב'ס" ששודרה בערוץ YES בשנת 2009.[דרוש מקור] הוא גם דיבב בסדרה את הדמויות של אורי גלר, של רועי לוי, של רן דנקר ושל עצמו.
בשנת 2010 נטל חלק בתפקיד הראשי בסרט "קסאמבה" (סרט בבימויו של יאיר אורבך) וכן השתתף בסרטו של דורון ערן "נמס בגשם" בכיכובם של חן יאני ולימור גולדשטיין. בשנה זו יצא גם בתוכנית סטנד אפ חדשה, "יונתן ברק – אגו טריפ".
ברק הוא הכותב הראשי של תוכניתם של אלי פיניש ומריאנו אידלמן "אלי ומריאנו 2" ובין היוצרים של התוכנית "בובה של לילה" בערוץ הספורט.
בשנת 2011 נטל ברק חלק בתוכניות – "נבחרת החלומות" בערוץ הראשון, "האוניברסיטה", בערוץ קומדי סנטרל, ו"פלאשבק", בחינוכית 23.
במאי 2012 החל לכתוב ולהשתתף בתוכנית הקומית "מחוץ לחוק" בערוץ הוט קומדי סנטרל. באותה שנה, כתב והשתתף בתוכנית "פוטו פיניש", בהנחיית אלי פיניש בערוץ 1.
בשנת 2013 השתתף בסדרת הנוער "יומני החופש הגדול".
בשנת 2015 החל להשתתף בתוכנית "המועדון של שחר חסון".
החל משנת 2016 החל ברק במסורת של העלאת מופעי ספיישל מצולמים לערוץ היוטיוב שלו (בהשפעת ספיישלי סטנד-אפ בנטפליקס). סגנונו של ברק בספיישלים אלה מאופיין בStorytelling והוא מספר באופן קומי על אירועים מחייו. בשנת 2016 עלה הספיישל הראשון: "הדבר האמיתי" ובשנת 2018 פרסם את מופע הבידור "טעים ומתוק" המתאר ברובו הזיות סמים פרועות שעברו עליו ועל חבריו באמטרדם. בשנת 2019 הופיע עם מופע הסטנדאפ "חומרים חדשים" בסיבוב הופעות ארצי. בדצמבר 2019 פרסם את הספיישל השלישי בשם "פסיכופת".
